Question

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点，∠EPF=45°．
（1）求证：△BPE∽△CFP．
（2）设BE=x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP是否可能等于60°？若可能求出x的值，若不可能请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠1=180°-∠EPF-∠3，∠EPF=45°，∠C+∠2+∠3=180°，
∴∠1=135°-∠3，∠2=135°-∠3，
∴∠2=∠3，
∴△BPE∽△CFP．

（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，
∴BP=CP=．
由（1）知△BPE∽△CFP，则=，即=，
解得，CF=．
则S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF
=×2×2-×x×sinB-×××sinC-×（2-x）×（2-）
=2-×x×-×××-×（2-x）×（2-）
=-1++，即y=-1++（1≤x≤2）；

（3）当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于60°．理由如下：
假设当E、F在运动过程中，∠EFP是等于60°．
如图，过点E作EM⊥FP于点M．
设FM=a．
在Rt△EMF中，EM=a．
在Rt△EMP中，得到PM=a，EP=a，
则==，
∵△BPE∽△CFP，
∴=，
∴x=3-．
∵1≤x≤2，
∴x=3-符合题意，
∴当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于60°．
分析：（1）由等腰直角三角形的性质求得∠B=∠C=45°；然后由三角形内角和定理、邻补角的定义求得∠BPE=∠CFP，则由“两角法”证得结论；
（2）S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF；
（3）利用反证法证明．假设当E、F在运动过程中，∠EFP是等于60°．如图，过点E作EM⊥FP于点M．设FM=a．构造两个直角三角形，通过解图中的两个直角三角形分别求得EM=a．PM=a，EP=a，则==；再利用（1）中的全等三角形的对应边成比例得到=，解得x的值符合（2）中的取值范围时，假设成立．反之，假设不成立．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．在利用相似三角形的对应边成比例来解题时，一定要找准“对应边”．