Question

如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E．
（1）求半圆O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC，OD，OE，根据切线的性质得到OD⊥AC，在直角△AOD中，用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出半圆的半径．
（2）先在直角△AOC中求出OC的长，计算出△ABC的面积，然后用三角形的面积减去半圆的面积得到阴影部分的面积．

解答：（1）解：连接OD，OC，OE，
∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E．
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴OD=OE，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∵AC=BC，
∴CO⊥AB且O是AB的中点．
∴AO=

1

2

AB=2．
∵∠C=120°，∴∠DCO=60°．
∴∠A=30°．
∴在Rt△AOD中，OD=

1

2

AO=1．
即半圆的半径为1．

（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，因为∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：AC²-OC²=AO²
即（2x）²-x²=2²
解得x=

2 3

3

（x=-

2 3

3

舍去）
∴S△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

．
∵半圆的半径为1，
∴半圆的面积为

π

2

，
∴S阴影=

4 3

3

-

π

2

=

8 3 -3π

6

．

点评：本题考查的是扇形面积的计算，（1）根据切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出半圆的半径．（2）先计算出三角形的面积，再用三角形的面积减去半圆的面积得到阴影部分的面积．