Question

4．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2$\sqrt{3}$，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为（4$\sqrt{3}$，4）．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB的长，由圆周角定理得出AB为直径，求出半径和圆心C的坐标，过点C作CF∥OA，过点P作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，设ME=x，得出OE=$\sqrt{3}$x，在△CMF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：∵A，B两点的坐标分别为（2$\sqrt{3}$，0），（0，10），
∴OB=10，OA=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，CM=2$\sqrt{7}$，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，
∴C点坐标为（$\sqrt{3}$，5），
过点C作CF∥OA，过点M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，如图所示：
则ON=AN=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$，
设ME=x，
∵∠AOM=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$x
∴∠CFM=90°，
∴MF=5-x，CF=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，CM=2$\sqrt{7}$，
在△CMF中，根据勾股定理得：（$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$）²+（5-x）²=（2$\sqrt{7}$）²，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴OE=$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$
故答案为：（4$\sqrt{3}$，4）．

点评 本题考查的是圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．