Question

7．抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．
（1）求点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）过点P作直线l⊥x轴，点Q是直线l的一个动点，若△BPQ∽△ABC，求Q点的坐标；
（3）点R是抛物线对称轴上的点，当P在x轴下方的抛物线上时，是否存在这样的P点，使四边形BCPR为轴对称图形？若存在，请直接写出P点和R点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求得点A，B的坐标，再令x=0，求得C点坐标，根据对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$计算即可；
（2）先作图，再根据△BPQ∽△ABC，得出比例式，再求Q点的坐标即可；
（3）分P点在第三象限和第四象限两种情况，分别画出满足题意的轴对称图形，进行求出符合题意的P点和R点的坐标．

解答 解：（1）令y=0，得x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，得y=-3，
∴C（0，-3），
对称轴：直线x=1；
（2）如图1所示，

∵△BPQ∽△ABC，
∴$\frac{PB}{AB}$=$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{BQ}{AC}$，
∴设P（x，a），则Q（x，b）；
∴$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+{a}^{2}}}{4}$=$\frac{|b-a|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+{b}^{2}}}{\sqrt{10}}$，
∵点P在抛物线上，则a=x²-2x-3，
解得x=0，b=1.5或x=-2，b=-2.5，
∴Q（0，1.5）或Q（-2，-2.5）；
（3）当点P在第三象限时，
如图2，
若四边形BCPR为轴对称图形，
则四边形PCBQ是等腰梯形，
设点P的坐标为（m，n），Q点（1，a），
由题意可得：PQ∥BC，PC=BQ，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-n}{1-m}=1}\\{{m}^{2}+（n+3）^{2}=4+{a}^{2}}\\{{m}^{2}-2m-3=n}\end{array}\right.$，
解得n=-1，m=$1±\sqrt{3}$，
由于P点在第三象限，则m＜0，
故m=1-$\sqrt{3}$，
当m=1-$\sqrt{3}$，n=-1，则a=$\sqrt{3}$-1；
即P（1-$\sqrt{3}$，-1），R（1，$\sqrt{3}$-1）；
（3）当点P在第四象限时，
如图3，
若四边形BCPR为轴对称图形，
PC=PQ，BC=BQ，
设点P的坐标为（m，n），Q点（1，a），
由题意可得：PQ∥BC，PC=BQ，
则$\left\{\begin{array}{l}{4+{a}^{2}=18}\\{{m}^{2}+（n-3）^{2}=（m-1）^{2}+（n-a）^{2}}\\{{m}^{2}-2m-3=n}\end{array}\right.$，
解得a=-$\sqrt{14}$，m=$\frac{-2+\sqrt{14}}{5}$，n=$\frac{-37-14\sqrt{14}}{25}$，
即P（$\frac{-2+\sqrt{14}}{5}$，$\frac{-37-14\sqrt{14}}{25}$），R（1，-$\sqrt{14}$）；
综上可知P（1-$\sqrt{3}$，-1），R（1，$\sqrt{3}$-1）或P（$\frac{-2+\sqrt{14}}{5}$，$\frac{-37-14\sqrt{14}}{25}$），R（1，-$\sqrt{14}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题的知识，此题涉及到二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、轴对称图形以及勾股定理等知识，解答此题（3）问有一定的难度，需要画出轴对称图形是解答该小题的关键．