Question

2．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=16cm，CD=10cm，AD=5cm DE⊥AB，垂足为E，点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/秒的速度沿CD向终点D运动（P，Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P，Q同时出发并运动了t秒．

（1）当四边形EPQD为矩形时，求t的值；
（2）当以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
（3）探索：是否存在这样的t值，使三角形PDQ是以PD为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在P、Q的运动过程中，当△PQB为钝角三角形时，请直接写出t的取值范围：$0≤t＜\frac{{2+\sqrt{73}}}{3}或\frac{13}{3}＜t≤8$．

Answer 1

分析 （1）首先过点C作CF⊥AB于点F，可得AE=BF=3cm，由AB∥CD，∠DEF=90°，可得当EP=DQ时，四边形EPQD为矩形，即可得方程：2t-3=10-t，解此方程即可求得答案；
（2）由AB∥CD，可得当AP=CQ时，以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，然后分别从当P在AE左侧时与当P在AE右侧时去分析求解即可求得答案；
（3）首先由勾股定理表示出PD²，DQ²，PQ²，然后分别从PD=DQ或PD=PQ去分析求解即可求得答案；
（4）首先求得当∠PQB=90°与∠BPQ=90°时的t的值，继而可求得当△PQB为钝角三角形时，t的取值范围．

解答 解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，
∵在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，
∴DE=CF，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）；
∴BF=AE，
∵AB=16cm，CD=10cm，
∴AE=BF=3cm，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=tcm，
∴EP=AP-AE=2t-3（cm），DQ=CD-CQ=10-t（cm），
∵AB∥CD，∠DEF=90°，
∴当EP=DQ时，四边形EPQD为矩形，
∴2t-3=10-t，
解得：t=$\frac{13}{3}$，
∴当四边形EPQD为矩形时，$t=\frac{13}{3}$；

（2）∵AB∥CD，
∴当AP=CQ时，以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，
当P在AE左侧时，EP=AE-AP=3-2t（cm），
此时3-2t=t，解得：t=1，
当P在AE右侧时，EP=AP-AE=2t-3（cm），
此时2t-3=t，解得：t=3，
∴当以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t=1或t=3；

（3）存在．
理由：在Rt△ADE中，AE=3，AD=5，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=4，
∴PD²=PE²+DE²=（2t-3）²+4²=4t²-12t+25，DQ²=（10-t）²=t²-20t+100，
过点Q作QM⊥AB于点M，则BM=BF+FM=3+t，
∴PM=AB-AP-BM=13-3t（cm），
∴PQ²=QM²+PM²=（13-3t）²+4²=9t²-78t+185，
若PD=DQ，则4t²-12t+25=t²-20t+100，
解得：t=$\frac{-4±\sqrt{241}}{3}$（负值舍去）；
若PD=PQ，则4t²-12t+25=9t²-78t+185，
解得：t₁=$\frac{16}{5}$，t₂=10（舍去），
综上可得：$t=\frac{16}{5}或t=\frac{{-4+\sqrt{241}}}{3}$；

（4）当∠PQB=90°，PQ²+BQ²=BP²，
∵PQ²=9t²-78t+185，BQ²=BM²+QM²=（3+t）²+4²=t²+6t+25，BP²=（16-2t）²=4t²-64t+256，
∴9t²-78t+185+t²+6t+25=4t²-64t+256，
解得：t=$\frac{2±\sqrt{73}}{3}$（负值舍去），
∴当0≤t＜$\frac{2+\sqrt{73}}{3}$时，△PQB为钝角三角形；
当∠BPQ=90°，即四边形EPQD为矩形，此时t=$\frac{13}{3}$，
∵当P从A到达B时，t=$\frac{16}{2}$=8（s），
∴当$\frac{13}{3}$＜t≤8时，△PQB为钝角三角形；
综上所述：当△PQB为钝角三角形时，t的取值范围为：$0≤t＜\frac{{2+\sqrt{73}}}{3}或\frac{13}{3}＜t≤8$．
故答案为：$0≤t＜\frac{{2+\sqrt{73}}}{3}或\frac{13}{3}＜t≤8$．

点评 此题属于四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握辅助线的作法，注意利用方程思想求解是解此题的关键．