Question

如图所示，在一副三角板ABC和三角板DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
（1）当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数；
（2）当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，当∠DCB等于多少度时，AB∥EC？
（4）当AB∥ED时，如图④⑤，分别求∠DCB的度数．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质,垂线

专题：计算题

分析：（1）先根据互余计算出∠B=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠BCD=∠B=30°；
（2）由于∠ACB=∠CDE=90°，根据平行线的判定易得DE∥AC；
（3）先利用互余计算出∠DCE=45°，根据平行线的判定方法，当∠ECB=∠B=30°时，AB∥CE，易得∠DCB=15°；
（4）如图④，根据平行线的性质由AB∥DE得到∠CFB=∠CDE=90°，再根据互余可计算出∠DCB的度数；
如图⑤，作CF∥AB，根据平行线的性质得CF∥DE，且∠BCF=∠B=30°，∠DCF=∠CDE=90°，则利用∠BCD=∠BCF+∠DCF进行计算．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=30°；
（2）当CD与CB重合时，DE与AC平行．理由如下：
∵∠ACB=∠CDE=90°，
∴DE∥AC；
（3）∵∠CDE=90°，∠DEC=45°，
∴∠DCE=45°，
当∠ECB=∠B=30°时，AB∥CE，
此时∠DCB=∠DEC-∠ECB=15°；
（4）如图④，∵AB∥DE，
∴∠CFB=∠CDE=90°，
∵∠B=30°，
∴∠DCB=90°-30°=60°；
如图⑤，作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF=∠B=30°，∠DCF=∠CDE=90°，
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=120°．

点评：本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．