Question

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若上抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．
∵直线与BC边相交于点D，∴．
∴x=2，故点D的坐标为（2，3）

（2）∵若抛物线y=ax²+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，
∴
解得：∴抛物线的解析式为．

（3）∵抛物线的对称轴为x=3，
设对称轴x=3与x轴交于点P₁，∴BA∥MP₁，∴∠BAD=∠AMP₁．
①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△MP₁A．
∴P₁（3，0）．
②当∠MAP₂=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP₂．
∴∠AP₂M=∠ADB
∵AP₁=AB，∠AP₁P₂=∠ABD=90°，
∴△AP₁P₂≌△ABD
∴P₁P₂=BD=4．
∵点P₂在第四象限，∴P₂（3，-4）．
答：符合条件的点P有两个，P₁（3，0）、P₂（3，-4）．
分析：（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．
（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．
（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．
点评：本题主要考查了二次函数的实际应用，以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目．