Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²-（m-1）x+m²-6交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；
（3）设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²-（m-1）x+m²-6与y轴交于点B（0，3），
∴m²-6=3．
∴m=±3．
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）猜想：CD⊥AC，如图（1）：

证明如下：
∵A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），
∴AB=3，AC=2，BC=．
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
又∵∠CAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ACB=90°，
∴CD⊥AC．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（-1，4）代入可得：，
解得：，
即直线AC的解析式为y=2x+6．
过B作BK∥x轴，交AC于点K，
则点K的坐标为（-，3），
①当0＜t＜时，如图（2），EF交AB于点Q，GF交AC于点N，过N做MP∥FE交x轴于P点，交BF的延长线点M，

由△AGN∽△KFN，得，
即，
解得PN=2t，
则S_阴影=S_△FGE-S_△QAE-S_△AGN==-t²+3t．

②当≤t≤3时，如图（3），EF交AB于点N，交AC于点M，BF交AC于点P，
．
由△AME∽△PMF，
得．
即，
解得ME=2（3-t），
∴S（3-t）×．
综上所述：S=．
分析：（1）将点B的坐标代入可得出m的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）分别求出点A、B、C的坐标，根据勾股定理的逆定理可判断出∠ABC=90°，继而利用等量代换可得出∠DCB+∠ACB=90°，继而得出结论．
（3）过点B作BF∥x轴，交AC于点K，求出点K的坐标，然后根据K的横坐标，可分类讨论，①当0＜t＜时，②当≤t≤3时，分别表示出阴影部分的面积即可．
点评：本题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、勾股定理的逆定理及分段函数的知识，综合考察的知识点较多，对于此类综合题目，往往前两问都比较简单，同学们不要碰到这样的综合题就退缩．