Question

6．已知，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．
（1）试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（2）若∠EAD=90°，AB=5，CF=1，求DF的长度．

Answer 1

分析 （1）延长AE、DF交于点M，证明△ABE≌△MCE，AB=MC，再由∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M，得出△AMF是等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+CF；
（2）由（1）求出AF，再证明DF=AF即可．

解答 解：（1）延长AE交DF的延长线于点M，如图所示：
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE和△MCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MEC}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\\{∠B=∠MCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠M，
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+CF；
（2）由（1）得：AF=AB-CF=5-1=4，
∵∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAF=90°，
∴2∠DAF+2∠EAF=180°，
∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠D=180°，
即∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠D=180°，
∴2∠EAF+∠DAF+∠D=180°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明等腰直角三角形和等腰三角形才能得出结果．