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【题目】如图Rt△ABC的场地上∠B90°ABBC∠CAB的平分线AEBC于点E.甲、乙两人同时从A处出发以相同的速度分别沿ACA→B→E线路前进甲的目的地为C乙的目的地为E.请你判断一下甲、乙两人谁先到达各自的目的地?并说明理由

【答案】同时到达

【解析】试题分析:

由题意可知这里是要比较AB+BEAC的大小关系.

如图过点EEF⊥AC于点F,则由角平分线的性质可得BE=EF,证△EFC是等腰直角三角形可得EF=EC,从而可得BE=FC;再证△ABE≌△AFE可得AB=AF,从而可得AB+BE=AC,说明甲、乙二人会同时达到目的地.

试题解析

甲、乙会同时到达目的地.理由如下:

过点EEF⊥AC于点F∵AE平分∠CAB∠B=90°

∴EFEB∠CAE=∠BAE

∵ABBC∠B90°

∴∠C.

∵EF⊥AC

∴∠EFC90°

∴∠CEF90°∠C45°∠C

∴EFCF.

∴BE=CF

在△AEF和△AEB中, ,

△AEF≌△AEB

∴AFAB

∴ABBEAFCFAC故甲乙同时到达目的地

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∵EF∥CD,
∴∠D+∠DEF=180°,(
∵∠B+∠BED+∠D=360°,(已知)
∴∠B+∠BEF=∠B+∠BED+∠D﹣(∠D+∠DEF)=360°﹣180°=180°
∴EF∥AB,(
, (平行于同一直线的两直线平行)
(2)如图2,已知∠BED=∠B+∠D,求证AB∥CD. 证明:过E点作EF∥CD(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)
∵EF∥CD,
∴∠D=∠FED,(
∵∠BED=∠B+∠D(已知)
∴∠B=∠BEF﹣∠D=∠BED﹣∠FED=∠BEF,
, (
. (平行于同一直线的两直线平行)

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