Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，点P在BC边上，CP=3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，则

QR

BQ

=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：当R在AD上时，如图1，由条件可以得出△ABP≌△BAR，就可以得出BP=AR，在得出△BQP≌△RQA就可以得出BQ=RQ就可以得出结论；当R在CD上时，如图2，作QE⊥BC于E，设PE=x，可以得出QE=

4

3

x，由相似三角形的性质可以求出x的值就可以求出BQ和RQ的值而得出结论．

解答：解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠C=90°，AB=CD=8，AD=BC=9．AD∥BC，
∴∠RAQ=∠BPQ，∠ARQ=∠PBQ．
∵CP=3，
∴BP=6．
在Rt△ABP中由勾股定理，得
AP=10．
∵AP=BR，
∴BR=10．
在Rt△ABP和Rt△BAR中

AP=BR AB=BA

∴Rt△ABP≌Rt△BAR（HL），
∴BP=AR．
在△AQR和△PQB中

∠RAQ=∠BPQ AR=PB ∠ARQ=∠PBQ

，
∴△AQR≌△PQB（ASA），
∴QR=QB，
∴

QR

BQ

=1；
当R在CD上时，如图2，作QE⊥BC于E，设PE=x，
∴

QE

AB

=

PE

PB

，
∴

QE

8

=

x

6

，
∴QE=

4

3

x．
在Rt△BRC中，由勾股定理，得
CR=

19

．
∵

QE

CR

=

BE

BC

，
∴

4 3 x

19

=

6-x

9

，
∴x=

72 19 -114

125

，
∴BE=6-

72 19 -114

125

=

864-72 19

125

．
∵

BE

BC

=

BQ

BR

，
∴

864-72 19 125

9

=

BQ

10

，
∴BQ=

192-16 19

25

，
∴RQ=10-

192-16 19

25

=

58+16 19

25

．
∴

RQ

BQ

=

58+16 19 25

192-16 19 25

=

4+ 19

8

．
故答案为：1或

4+ 19

8

．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，比例的运用，解答时运用比例线段求解是关键．