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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
    （1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
    （2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
    （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    分析：（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
    （2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；
    （3）本题要分两种情况进行讨论：
    ①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．
    ②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值．
    解答：解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
    ∴∠OCA+∠OCB=90°，
    又∵∠OCB+∠OBC=90°，
    ∴∠OCA=∠OBC，
    又∵∠AOC=∠COB=90°，
    ∴△AOC∽△COB，
    ∴
    OA
    OC
    =
    OC
    OB
    ．
    又∵A（-1，0），B（9，0），
    ∴
    1
    OC
    =
    OC
    9
    ，
    解得OC=3（负值舍去）．
    ∴C（0，-3），
    故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
    ∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=
    1
    3
    ，
    ∴二次函数的解析式为y=
    1
    3
    （x+1）（x-9），
    即y=
    1
    3
    x2-
    8
    3
    x-3．

    （2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
    ∴OO′=4，O′（4，0），
    ∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
    ∴∠BCD=
    1
    2
    ∠BCE=
    1
    2
    ×90°=45°，
    连接O′D交BC于点M，
    则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=
    1
    2
    AB=5．
    ∴O′D⊥x轴
    ∴D（4，-5）．
    ∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
    ∴
    9k+b=0
    4k+b=-5
    ，
    解得
    k=1
    b=-9

    ∴直线BD的解析式为y=x-9．
    ∵C（0，-3），精英家教网
    设直线BC的解析式为：y=ax+b，
    ∴
    b=-3
    9a+b=0
    ，
    解得：
    b=-3
    a=
    1
    3
    ，
    ∴直线BC的解析式为：y=
    1
    3
    x-3．


    （3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
    解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则
    BQ
    =
    CD
    ．
    分两种情况（如图所示）：
    ①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
    ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，
    因此，点Q1（7，-4）符合
    BQ
    =
    CD
    ，
    ∵D（4，-5），Q1（7，-4），
    ∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=
    1
    3
    x-
    19
    3
    ．
    解方程组
    y=
    1
    3
    x-
    19
    3
    y=
    1
    3
    x2-
    8
    3
    x-3

    得
    x1=
    9-
    		41
    2
    y1=
    -29-
    		41
    6
    或
    x2=
    9+
    		41
    2
    y2=
    -29+
    		41
    6

    ∴点P1坐标为（
    9+
    		41
    2
    ，
    -29+
    		41
    6
    ），坐标为（
    9-
    		41
    2
    ，
    -29-
    		41
    6
    ）不符合题意，舍去．
    ②∵Q1（7，-4），
    ∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合
    BQ
    =
    CD
    ．
    ∵D（4，-5），Q2（7，4）．
    ∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17．
    解方程组
    y=3x-17
    y=
    1
    3
    x2-
    8
    3
    x-3

    得
    x1=3
    y1=-8
    ，
    即
    x2=14
    y2=25

    ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
    ∴符合条件的点P有两个：P1（
    9+
    		41
    2
    ，
    -29+
    		41
    6
    ），P2（14，25）．
    解法二：分两种情况（如图所示）：
    精英家教网①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
    ∵B（9，0），C（0，-3）．
    ∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=
    1
    3
    x-3．
    又∵DP1∥CB，
    ∴设直线DP1的解析式为y=
    1
    3
    x+n．
    把D（4，-5）代入可求n=-
    19
    3
    ，
    ∴直线DP1解析式为y=
    1
    3
    x-
    19
    3
    ．
    解方程组
    y=
    1
    3
    x-
    19
    3
    y=
    1
    3
    x2-
    8
    3
    x-3

    得
    x1=
    9-
    		41
    2
    y1=
    -29-
    		41
    6
    或
    x2=
    9+
    		41
    2
    y2=
    -29+
    		41
    6

    ∴点P1坐标为（
    9+
    		41
    2
    ，
    -29+
    		41
    6
    ）或（
    9-
    		41
    2
    ，
    -29-
    		41
    2
    ）（不符合题意舍去）．
    ②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
    ∴∠NDB=∠CBD．
    由①知，直线BC解析式为y=
    1
    3
    x-3．
    取x=4，得y=-
    5
    3
    ，
    ∴M（4，-
    5
    3
    ），
    ∴O′N=O′M=
    5
    3
    ，
    ∴N（
    17
    3
    ，0），
    又∵D（4，-5），
    ∴直线DN解析式为y=3x-17．
    解方程组
    y=3x-17
    y=
    1
    3
    x2-
    8
    3
    x-3

    得
    x1=3
    y1=-8
    ，
    x2=14
    y2=25

    ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
    ∴符合条件的点P有两个：P1（
    9+
    		41
    2
    ，
    -29+
    		41
    6
    ），P2（14，25）．
    解法三：分两种情况（如图所示）：
    ①求点P1坐标同解法二．精英家教网
    ②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
    此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
    由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，
    又∵C（0，-3）
    ∴可求得CG的解析式为y=x-3，
    设G（m，m-3），作GH⊥x轴交于x轴与H，
    连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
    由D（4，-5）与G（7，4）可得，
    DG的解析式为y=3x-17，
    解方程组
    y=3x-17
    y=
    1
    3
    x2-
    8
    3
    x-3

    得
    x1=3
    y1=-8
    ，
    即
    x2=14
    y2=25

    ∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意舍去．
    ∴符合条件的点P有两个：P1（
    9+
    		41
    2
    ，
    -29+
    		41
    6
    ），P2（14，25）．
    点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    35
    x（0≤x≤5），给出以下四个结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3．其中正确结论的序号是
     
    ．

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    3
    2
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    A、（2，-2）
    B、（4，-4）
    C、（
    5
    2
    ，-
    5
    2
    ）
    D、（5，-5）

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    		3
    ，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=
    k
    x
    （k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的
    5
    4
    倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是
     
    （填”相离”，“相切”或“相交“）．

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    		PN
    的中点时，求证：DF=DN；
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    （3）当⊙A的半径为5，且△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．

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    		3
    ，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=
    		3
    x
    的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若以点C为圆心，CA的k倍的长为半径作圆，该圆与x轴相切，则k的值为
    3+
    		3
    4
    3+
    		3
    4
    ．

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