Question

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．
②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值．

解答：解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴

1

OC

=

OC

9

，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，-3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=

1

3

，
∴二次函数的解析式为y=

1

3

（x+1）（x-9），
即y=

1

3

x²-

8

3

x-3．

（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=

1

2

∠BCE=

1

2

×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=

1

2

AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，-5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴

9k+b=0 4k+b=-5

，
解得

k=1 b=-9

∴直线BD的解析式为y=x-9．
∵C（0，-3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴

b=-3 9a+b=0

，
解得：

b=-3 a= 1 3

，
∴直线BC的解析式为：y=

1

3

x-3．


（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则

BQ

=

CD

．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，
因此，点Q₁（7，-4）符合

BQ

=

CD

，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=

1

3

x-

19

3

．
解方程组

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+ 41 6

∴点P₁坐标为（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），坐标为（

9- 41

2

，

-29- 41

6

）不符合题意，舍去．
②∵Q₁（7，-4），
∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合

BQ

=

CD

．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x-17．
解方程组

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，
即

x2=14 y2=25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．
解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=

1

3

x-3．
又∵DP₁∥CB，
∴设直线DP₁的解析式为y=

1

3

x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-

19

3

，
∴直线DP₁解析式为y=

1

3

x-

19

3

．
解方程组

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+ 41 6

∴点P₁坐标为（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

）或（

9- 41

2

，

-29- 41

2

）（不符合题意舍去）．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y=

1

3

x-3．
取x=4，得y=-

5

3

，
∴M（4，-

5

3

），
∴O′N=O′M=

5

3

，
∴N（

17

3

，0），
又∵D（4，-5），
∴直线DN解析式为y=3x-17．
解方程组

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，

x2=14 y2=25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．
解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P₁坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，
又∵C（0，-3）
∴可求得CG的解析式为y=x-3，
设G（m，m-3），作GH⊥x轴交于x轴与H，
连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，-5）与G（7，4）可得，
DG的解析式为y=3x-17，
解方程组

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，
即

x2=14 y2=25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．