Question

如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），且过A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得
，
解得．
故抛物线的解析式为y=x²+2x；

（2）①当AO为边时，
∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE=AO=2，
则D在x轴下方不可能，
∴D在x轴上方且DE=2，
则D₁（1，3），D₂（-3，3）；
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，
∵点E在对称轴上，对称轴为直线x=-1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D₃（-1，-1）
故符合条件的点D有三个，分别是D₁（1，3），D₂（-3，3），D₃（-1，-1）；

（3）存在，
如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），根据勾股定理得：

BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是直角三角形．
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，则=，
即 x+2=3（x²+2x）
得：x₁=，x₂=-2（舍去）．
当x=时，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，则=，
即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．

分析：（1）由于抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平分，可以求出点D的坐标；
（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标．