Question

如图，在△ABC中AB的垂直平分线DE与AC相交于点E，与AB相交于点D，∠AED=30°，AG平分∠BAC交DE于点G，AD=4cm，连接BE，下列说法中不正确的是

1. A.
   DG=2cm
2. B.
   BE=8cm
3. C.
   AE=BE
4. D.
   AG=FG

Answer 1

A
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=8cm，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAE=60°，再根据角平分线的定义求出∠EAG=30°，然后求出∠EAG=∠AEG，根据等角对等边可得AG=EG，设DG=x，先表示出DE，再表示出AG=GE，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，故C选项错误；
∵∠AED=30°，AD=4cm，
∴AE=2AD=2×4=8cm，
∴BE=8cm，故B选项错误；
又∵∠DAE=90°-∠AED=90°-30°=60°，AG平分∠BAC，
∴∠EAG=∠DAE=×60°=30°，
∴∠EAG=∠AEG，
∴AG=EG，故D选项错误；
设DG=x，
在Rt△ADE中，DE===4cm，
∴AG=GE=4-x，
在Rt△ADG中，AD²+DG²=AG²，
即4²+x²=（4-x）²，
解得x=，
即DG=cm，故A选项正确．
故选A．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．