Question

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，则正方形ABCD的面积等于

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：首先根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；根据全等的性质：CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x，则AB=x+

2

，在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，求出x的值，即可得出正方形ABCD的边长，进而求出正方形ABCD的面积．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AD AE=AF

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE²+CF²=EF²，
∴EC=

2

，
设BE=x，则AB=x+

2

，
在Rt△ABE中，AE=2，
∴AB²+BE²=AE²，即（x+

2

）²+x²=4，
解得x₁

- 2 + 6

2

=或x₂=

- 2 - 6

2

（舍去），
∴AB=

- 2 + 6

2

+

2

=

2 + 6

2

，
∴正方形ABCD的面积=2+

3

，
故答案为：2+

3

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质以及勾股定理的运用要熟练掌握．