Question

6．已知，经过点A（-4，4）的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点B（-3，0）及原点O．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段AO于点Q，交抛物线于点P，当四边形AHPQ为平行四边形时，求∠AOP的度数；
（3）如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使∠CAO=∠BAO？若存在，请求出直线AC解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（-4，4）代入可求得k的值，则可得到OA的解析式，设点P的坐标为（a，a²+3a），则点Q的坐标为（a，-a）．由题意可知QP=4，则-a-（a²+3a）=4，则可求得a的值，于是得到P（-2，-2），Q（-2，2），最后利用勾股定理的逆定理证明△OPQ为直角三角形即可；
（3）在y轴上取点D，使OD=OB，则D（0，3），延长AD交抛物线与点C．当点C′在直线AB上时，∠C′AO=∠BAO．设AC′的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入求解即可，然后再证明△ABO≌△AOD，则∠BAO=∠CAO，设AC的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入求解即可．

解答 解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a-4b+c=4}\\{9a-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=3．
∴抛物线的解析式为y=x²+3x．
（2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（-4，4）代入得：-4k=4，解得k=-1，
∴直线OA的解析式为y=-x．
设点P的坐标为（a，a²+3a），则点Q的坐标为（a，-a）．

∵四边形AHPQ为平行四边形，
∴AH=QP．
∴-a-（a²+3a）=4，解得：a=-2．
∴P（-2，-2），Q（-2，2）．
依据两点间的距离公式可知OQ=2$\sqrt{2}$，OP=2$\sqrt{2}$，QP=4，
∴PQ²=OQ²+OP²．
∴△OQP为直角三角形．
∴∠AOP=90°．
（3）如图2所示：在y轴上取点D，使OD=OB，则D（0，3），延长AD交抛物线与点C．

当点C′在直线AB上时，∠C′AO=∠BAO．
设AC′的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得k=-4，b=-12．
∴直线AC′的解析式为y=-4x-12．
∵点A的坐标为（-4，4），
∴∠AOB=45°，
∴∠AOB=∠AOD．
∵在△ABO和△AOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠AOB=∠AOD}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△AOD．
∴∠BAO=∠CAO．
设AC的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{4}$，b=3．
∴所以直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+3．
综上所述：直线AC的解析式为y=-4x-12或y=-$\frac{1}{4}$x+3．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二函数、一次函数的解析式，求得点P和点Q的坐标是解答问题（2）的关键，证得△ABO≌△AOD是解答问题（3）的关键．