Question

已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，
（1）求：∠AOC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OAC+∠OCA，然后在△AOC中，利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）在AC上截取AF=AE，利用“边角边”证明△AOE和△AOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOF=∠AOE，根据邻补角的定义求出∠AOE=60°，再求出∠COF=60°，然后求出∠COD=∠COF，然后利用“角边角”证明△COD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=CD，再根据AC=AF+CF整理即可得证．

解答：（1）解：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠OAC+∠OCA=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
在△AOC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-60°=120°；

（2）证明：如图，在AC上截取AF=AE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠OAE=∠OAF，
在△AOE和△AOF中，

AE=AF ∠OAE=∠OAF AO=AO

，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOF=∠AOE，
∵∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∴∠AOF=60°，
∵∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，
∠COD=∠AOE=60°，
∴∠COD=∠COF，
∵CE是△ABC的平分线，
∴∠OCD=∠OCF，
在△COD和△COF中，

∠COD=∠COF CO=CO ∠OCD=∠OCF

，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AE+CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，（1）整体思想的利用是解题的关键，（2）作辅助线并根据角的度数是60°得到相等的角是解题的关键．