Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，过点C的直线CF∥AB，D为AB边上一点，DE⊥BC于E交CF于点F．连结BF，CD．
（1）当点D是AB的中点时，四边形BFCD是什么特殊的四边形？说明你的理由．
（2）在（1）的条件下，当∠A=45°时，四边形BFCD是正方形．

Answer 1

分析 （1）先证明AC∥DE，得出四边形BFCD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD=BD，得出四边形BFCD是菱形；
（2）先求出∠ABC=45°，再根据菱形的性质求出∠DBF=90°，即可证出结论．

解答 解：（1）如图，当点D是AB的中点时，四边形BFCD是菱形，
理由：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DEB，
∴AC∥DF，
∵CF∥AB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴CF=AD，
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴四边形BFCD是菱形；

（2）如图，当∠A=45°时，四边形BFCD是正方形．
理由：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠DBF，
∴∠DBF=90°，
∴四边形BFCD是正方形．
故答案为：45°．

点评 本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质的综合应用；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．