【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形.
(Ⅰ)若△PCD是等腰三角形时,求AP的长;
(Ⅱ)若AP= ,求CF的长.
【答案】解:(Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,∠ADC=90°,
∴DC=AB=6,
∴AC= =10,
要使△PCD是等腰三角形,
①当CPCD时,AP=AC﹣CP=10﹣6=4,
②当PD=PC时,∠PDC=∠PCD,
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°,
∴∠PAD=∠PDA,
∴PD=PA,
∴PA=PC,
∴AP= AC=5,
③当DP=DC时,如图1,过点D作DQ⊥AC于Q,
则PQ=CQ,
∵S△ADC= ADDC= ACDQ,
∴DQ= = ,
∴CQ= = ,
∴PC=2CQ= ,
∴AP=AC﹣PC=10﹣ = ;
所以,若△PCD是等腰三角形时,AP=4或5或 ;
(Ⅱ)如图2,连接PF,DE记PF与DE的交点为O,连接OC,
∵四边形ABCD和PEFD是矩形,
∴∠ADC=∠PDF=90°,
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,
∴∠ADP=∠CDF,
∵∠BCD=90°,OE=OD,
∴OC= ED,
在矩形PEFD中,PF=DE,
∴OC= PF,
∵OP=OF= PF,
∴OC=OP=OF,
∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,
∴2∠OCP+2∠OCF=180°,
∴∠PCF=90°,
∴∠PCD+∠FCD=90°,
在Rt△ADC中,∠PCD+∠PAD=90°,
∴∠PAD=∠FCD,
∴△ADP∽△CDF,
∴ ,
∵AP= ,
∴CF= .
【解析】(Ⅰ)先求出AC,再分三种情况讨论计算即可得出结论;(Ⅱ)先判断出OC= ED,OC= PF,进而得出OC=OP=OF,即可得出∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,最后判断出△ADP∽△CDF,得出比例式即可得出结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等,以及对相似三角形的应用的理解,了解测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.
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【题目】某校为了解2013年八年级学生课外书籍借阅情况,从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况,将统计结果列出如下的表格,并绘制成如图所示的扇形统计图,其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%.
类别 | 科普类 | 教辅类 | 文艺类 | 其他 |
册数(本) | 128 | 80 | m | 48 |
(1)求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角α的度数;
(2)该校2013年八年级有500名学生,请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中2条直线为l1:y=﹣3x+3,l2:y=﹣3x+9,直线l1交x轴于点A,交y轴于点B,直线l2交x轴于点D,过点B作x轴的平行线交l2于点C,点A、E关于y轴对称,抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点,下列判断中:
①a﹣b+c=0;②2a+b+c=5;③抛物线关于直线x=1对称;④抛物线过点(b,c);⑤S四边形ABCD=5,
其中正确的个数有( )
A.5
B.4
C.3
D.2
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【题目】如图,菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上,O是坐标原点,tan∠AOC= ,反比例函数y= 的图象经过点C,与AB交于点D,若△COD的面积为20,则k的值等于 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠,点B落在点D处,DC与y轴相交于点E,矩形OABC的边OC,OA的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根,且OA>OC.
(1)求线段OA,OC的长;
(2)求证:△ADE≌△COE,并求出线段OE的长;
(3)直接写出点D的坐标;
(4)若F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点P,使以点E,C,P,F为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为 的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.
(1)求证:EF为半圆O的切线;
(2)若DA=DF=6 ,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)
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【题目】学校召集留守儿童过端午节,桌上摆有甲、乙两盘粽子,每盘中盛有白粽2个,豆沙粽1个,肉粽1个(粽子外观完全一样).
(1)小明从甲盘中任取一个粽子,取到豆沙粽的概率是;
(2)小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子,请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率.
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