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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形.

(Ⅰ)若△PCD是等腰三角形时,求AP的长;
(Ⅱ)若AP= ,求CF的长.

【答案】解:(Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,∠ADC=90°,
∴DC=AB=6,
∴AC= =10,
要使△PCD是等腰三角形,
①当CPCD时,AP=AC﹣CP=10﹣6=4,
②当PD=PC时,∠PDC=∠PCD,
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°,
∴∠PAD=∠PDA,
∴PD=PA,
∴PA=PC,
∴AP= AC=5,
③当DP=DC时,如图1,过点D作DQ⊥AC于Q,

则PQ=CQ,
∵S△ADC= ADDC= ACDQ,
∴DQ= =
∴CQ= =
∴PC=2CQ=
∴AP=AC﹣PC=10﹣ =
所以,若△PCD是等腰三角形时,AP=4或5或
(Ⅱ)如图2,连接PF,DE记PF与DE的交点为O,连接OC,

∵四边形ABCD和PEFD是矩形,
∴∠ADC=∠PDF=90°,
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,
∴∠ADP=∠CDF,
∵∠BCD=90°,OE=OD,
∴OC= ED,
在矩形PEFD中,PF=DE,
∴OC= PF,
∵OP=OF= PF,
∴OC=OP=OF,
∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,
∴2∠OCP+2∠OCF=180°,
∴∠PCF=90°,
∴∠PCD+∠FCD=90°,
在Rt△ADC中,∠PCD+∠PAD=90°,
∴∠PAD=∠FCD,
∴△ADP∽△CDF,

∵AP=
∴CF=
【解析】(Ⅰ)先求出AC,再分三种情况讨论计算即可得出结论;(Ⅱ)先判断出OC= ED,OC= PF,进而得出OC=OP=OF,即可得出∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,最后判断出△ADP∽△CDF,得出比例式即可得出结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等,以及对相似三角形的应用的理解,了解测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.

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类别

科普类

教辅类

文艺类

其他

册数(本)

128

80

m

48


(1)求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角α的度数;
(2)该校2013年八年级有500名学生,请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本?

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①a﹣b+c=0;②2a+b+c=5;③抛物线关于直线x=1对称;④抛物线过点(b,c);⑤S四边形ABCD=5,
其中正确的个数有( )

A.5
B.4
C.3
D.2

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A. 或2
B. 或2
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