Question

（1）已知两点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上的一点，求PA+PB的最小值．
（2）C是x轴上任意一点，求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

解：（1）如图1，作出点B关于x轴的对称点B′，过B′作B′M⊥y轴，M是垂足，连结AB′，交x轴于点P．
∵点B关于x轴的对称点是B′，∴PB=PB′，
∴AB′=AP+PB′=AP+PB，
而A、B′两点间线段最短，
∴AB′最短，（两点之间，线段最短），即AP+PB最小，
∴在Rt△AMB′中，AM=3，MB′=4，
∴AB′=5．
即PA+PB的最小值为5；

（2）作BD⊥y轴于D．
∵A（0，2），B（4，1），
∴BD=4，AD=2-1=1．
∴AB=．
可求得AC+BC的最小值为5，
∴△ABC的周长的最小值为+5．
分析：（1）求两线段之和最小，我们的想法是将两条线段拼起来．关于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”．因此问题的关键是怎样进行转化．
（2）△ABC的周长即为AB+AC+BC，由于A、B点的坐标已知，故AB的长度可求出，因此问题转化为求AC+BC的最小值．
点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，求两线段之和最小的基本方法是作其中一个已知点关于直线的对称点，从而将两条线段之和转化为另一个已知点与对称点之间的线段．