Question

已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4；它还与过点C（1，-2）的直线有一个交点是D（2，-3）．
（1）求这条直线的函数解析式；
（2）求这条抛物线的函数解析式；
（3）若这条直线上有P点，使S_△PAB=12，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于所求直线经过点C（1，-2）和D（2，-3），利用待定系数法即可确定直线的解析式；
（2）由于抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4，由此可以确定A、B的坐标，还经过D（2，-3），利用待定系数法可以确定抛物线的函数解析式；
（3）由于线段AB的长是4，利用三角形的面积公式可以求出P的纵坐标的绝对值，然后代入（1）中直线解析式即可确定P的坐标．

解答：解：（1）∵直线经过点：C（1，-2）、D（2，-3），
设解析式为y=kx+b，
∴

-2=k+b -3=2k+b

，
解之得：k=-1，b=-1，
∴这些的解析式为y=-x-1；

（2）由抛物线的对称轴是：x=1，与x轴两交点A、B之间的距离是4，
可推出：A（-1，0），B（3，0）（2分）
设y=ax²+bx+c，
由待定系数法得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c=-3

，
解之得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以抛物线的解析式为：y=x²-2x-3（2分）；

（3）设点P的坐标为（x，y），它到x轴的距离为|y|．（1分）
∴S△PAB=

1

2

|AB||y|=

1

2

×4|y|=12，
解之得：y=±6（1分）
由点P在直线y=-x-1上，得P点坐标为（-7，6）和（5，-6）．

点评：此题分别考查了抛物线与x轴的交点坐标与对称轴的关系、待定系数法确定函数的解析式即三角形的面积公式等知识，有一定的综合性，一起学生熟练掌握各个知识点才能很好解决问题．