Question

20．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+2x-k．
（1）与x轴总有一个交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²=k²-k+6，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0找出关于x的一元二次方程，根据方程总与x轴有交点结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=-4、x₁•x₂=-2k，结合x₁²+x₂²=k²-k+6即可得出关于k的一元二次方程，解方程得出k值，再结合（1）的结论确定k的值，将其代入抛物线解析式中即可得出结论．

解答 解：（1）当y=0时，有$\frac{1}{2}$x²+2x-k=0，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+2x-k与x轴总有一个交点，
∴△=2²-4×$\frac{1}{2}$×（-k）=4+2k≥0，
解得：k≥-2．
（2）∵若抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-2k，
∵x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=16+4k=k²-k+6，
解得：k₁=$\frac{5+\sqrt{65}}{2}$，k₂=$\frac{5-\sqrt{65}}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{5+\sqrt{65}}{2}$或y=$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{5-\sqrt{65}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）找出关于k的一元一次不等式；（2）求出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据抛物线与x轴的交点找出不等式（或方程）是关键．