Question

如图，经过点A（-2，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=，点B的坐标为（4，0）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设一次函数与y轴相交于点C，求四边形OBPC的面积．

Answer 1

解：（1）∵A（-2，0），B（4，0），
∴AB=OA+OB=6，
∵tan∠PAB=，即==，
解得：BP=9，又OB=4，
∴P（4，9），
把P（4，9）代入y=中，得：k=36，
∴反比例函数的解析式为y=，
将A（-2，0），P（4，9）代入y=ax+b中得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=x+3；

（2）对于y=x+3，令x=0，解得：y=3，
可得C（0，3），即OC=3，又BP=9，OB=4，
∴S_梯形OBPC=（OC+BP）×OB=×（3+9）×4=24．
分析：（1）由A和B的坐标，得到OA与OB的长，根据OA+OB求出AB的长，在三角形APB中，由tan∠PAB的值，利用锐角三角函数定义即AB的长，求出BP的长，再由OB的长，根据P在第一象限，确定出P的坐标，将P的坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，确定出反比例函数解析式，将A和P代入一次函数y=ax+b中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由（1）求出的一次函数解析式，令x=0求出对应y的值，确定出C的坐标，得到OC的长，由四边形OBPC为直角梯形，上底OC，下底为PB，高为OB，利用梯形的面积公式即可求出四边形OBPC的面积．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，以及待定系数法确定函数解析式，是中考中常考的基本题型．