Question

等腰△ABC中，a、b、c为三角形的三边长，已知a=3，b、c是方程x²+mx+2-m=0的两个实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

解：（1）若a为底边，则b=c，且均为一元二次方程的实数根，故一元二次方程x²+mx+2-m=0有两个相等的实数根．
由b²-4ac=m²-4（2-m）=0 得：m₁=2，m₂=-4
即b=c=2或b=c=-4（不合，舍去） a=3，b=c=2能构成三角形．
∴△ABC的周长2+2+3=7．
（2）若a为腰，则b、c中必有一边与a相同
不妨设b=a=3，则3是方程x²+mx+2-m=0的一根，
∴9+3m+2-m=0∴m=-∴原方程为x²-x+=0，
∴x₁=3，x₂=∴C=∵3+3＞∴能构成三角形，
∴△ABC的周长为3+3+==；
分析：等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论．①当a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解；②当a是底边时，方程有两个相等的实根，根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，从而求得其周长．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将a边进行分类是解题的关键．