Question

如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：AC•AB=AD•AE；
（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接BE，由圆周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，可得∠ADC=∠ABE=90°，则可证得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AC•AB=AD•AE；
（2）由（1）即可求得直径AE的长，继而求得⊙O的面积．

解答：（1）证明：连接BE，
∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE．
∴AC：AE=AD：AB，
∴AC•AB=AD•AE；

（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，
∴AE=

AC•AB

AD

=

5×6

3

=10，
∴OA=5，
∴⊙O的面积为：π×5²=25π．

点评：此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．