Question

如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=6cm，已知a∥b，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
问题1：当A₁、D两点重合时，则AC=

 

cm；
问题2：当A₁、D两点不重合时，连接A₁D，可探究发现A₁D∥BC，
下面是小明的思考：
（1）将△ABC沿BC翻折，点A关于直线BC的对称点为A₁，连接AA₁交BC所在直线于点M，由轴对称的性质，得AM=A₁ M，这一关系在变化过程中保持不变；
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，设对角线的交点是O，易知AO=DO，这一关系在变化过程中也保持不变．
请你借助于小明的思考，说明AD₁∥BC的理由；
问题3：当A₁、D两点不重合时，若直线a、b间的距离为

5

cm，且以点A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．

Answer 1

分析：问题1：首先得出四边形ABCD为平行四边形，进而得出四边形ABCD为菱形，求出答案即可；
问题2：由题意可得：AM=A₁M，AO=DO，得出M和O分别为AA₁和AD的中点，即可得出MO为△AA₁M的中位线，求出即可；
问题3：分别利用当四边形A₁CBD是矩形，当四边形CBA₂D是矩形，当四边形CBDA₃是矩形，分别求出AC的长即可．

解答：解：问题1：
BC为折痕，则BC垂直平分AA₁，
当A₁与D重合，即BC⊥AD，
又∵AB=CD，a∥b，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC=CD，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC=6cm，
故答案为：6；

问题2：如图1，由题意可得：AM=A₁M，AO=DO，
∴M和O分别为AA₁和AD的中点，
∴MO为△AA₁M的中位线，
即A₁D∥MO，即A₁D∥BC；

问题3：如图2，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，
当四边形A₁CBD是矩形，
∴∠ACB=∠A₁CB=90°，
∵CE⊥AB于点E，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴

CE

BE

=

AE

CE

，
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
设AE=x，则（

5

）²=x（6-x），
解得x₁=1，x₂=5，
∴AC=

( 5 )2+12

=

6

（cm）；

如图3，当四边形CBA₂D是矩形，
∴CD=BA=6cm，BC=

5

cm，
∴A₂C=

62+( 5 )2

=

41

（cm）；

如图4，当四边形CBDA₃是矩形，
过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAE=∠ECB，
又∵∠AEC=∠BEC，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴

CE

BE

=

AE

CE

，
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
设BE=x，则（

5

）²=x（6-x），
解得x₁=1，x₂=5，
∴BE=1，
∴BC=

6

，
∴A₃C=

AB2-BC2

=

30

，
综上所述：以点A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，AC的长为

6

cm或

41

cm或

30

cm．

点评：此题主要考查了几何变换以及相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，利用分类讨论得出是解题关键．