试题分析:(1)由题意可得点A的坐标为(2,-1),根据抛物线的顶点为坐标原点O可设抛物线的解析式为
,再将点A(2,-1)代入即可求得结果;
(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G,由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),则
,
,
,根据点P(a,b)为抛物线
上的动点可得
,变形得:
,在Rt△PGF中,根据勾股定理即可证得结论;
②由P(a,b),F(0,-1),R(a,1),根据勾股定理可表示出RF的长,由①可知:PF=PR=1-b,则可得当
时△PFR为等边三角形,从而可以求得结果;
③连接SF、RF,由PF=PR;PR∥FO可得∠1=∠2,∠1=∠3,即得
,同理可得
,则
,即可得到结果.
(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1)
∵抛物线的顶点为坐标原点O
∴可设抛物线的解析式为:
;
将点A(2,-1)代入可得:
;解得
,
∴抛物线的解析式为:
;
(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G
由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1)
∴
,
,
∵点P(a,b)为抛物线
上的动点
∴
,变形得:
在Rt△PGF中,由勾股定理可得:
∴PF=PR;
②存在点P,使得△PFR为等边三角形;
∵P(a,b),F(0,-1),R(a,1)
∴
由①可知:PF=PR=1-b
∴当
时△PFR为等边三角形
解得:
,
(不合题意,舍去)
∴当
时,有
,解得:
,
∴点P的坐标为(
,-3),(
,-3);
③△RSF为直角三角形.
如图,连接SF、RF
∵PF=PR;PR∥FO
∴∠1=∠2;∠1=∠3
∴
同理可得:
∴
∴△RSF为直角三角形.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.