Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2，点D坐标为（3，2）（2）p₁（0，2）；p₂（，﹣2）；p₃（，﹣2）（3）点P坐标为（，），（﹣，）．

试题分析：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：
∴y=﹣x²+x+2；
当y=2时，﹣x²+x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍），
即：点D坐标为（3，2）．
（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为﹣2，
代入抛物线的解析式：﹣x²+ x+2=﹣2
解得：x₁=，x₂=，
∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）
综上所述：p₁（0，2）；p₂（，﹣2）；p₃（，﹣2）．
(3)存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，
点P的坐标为（a，﹣a²+ a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2﹣（﹣a²+a+2）=a²﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′～△Q′FP，，，
∴Q′F=a﹣3，
∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，
此时a= ，点P的坐标为（，），
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，﹣a²+ a+2＜0，CQ=﹣a，
PQ=2﹣（﹣a²+a+2）=a²﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′～△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=，
此时a=﹣，点P的坐标为（﹣，）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（﹣，）．
点评：本题考查二次函数，相似三角形，本题需要考生掌握待定系数法，会用待定系数法求解析式，掌握相似三角形的判定方法，会证明两个三角形相似