Question

（本题10分）如图1，抛物线y=－x2＋2bx＋c（b＞0）与y轴交于点C，点P为抛物线顶点，分别作点P，C关于原点O的对称点P′，C′，顺次连接四点得四边形PC P′C′．

（1）当b=c=1时，求顶点P的坐标；

（2）当b=2，四边形PC P′C′为矩形时（如图2），求c的值；

（3）请你探究：四边形PCP′C′能否成为正方形？若能，求出符合条件的b，c的值；若不能，请说明理由．

 

Answer 1

（1）F（1，2）；（2）；（3）能， c=－1, b=1

【解析】

试题分析：（1）当b=c=1时，y=－x2＋2x＋1=－（x－1）2＋2

∴顶点P的坐标为（1，2）

（2）当b=2时，

∴顶点P的坐标为（2，4＋c）

当时， ∴点C的坐标为（0，c）

当四边形PC P′C′为矩形时OP=OC

即

解得

（3）当四边形PCP′C′能成为正方形时，PP′⊥CC′ 且OP=OC

此时点P必在轴上， ∴ ①

∵OP=OC 点C必在y轴负半轴上 ∴②

由①②得，c=0(舍去)，c=－1, b=1

考点:二次函数的综合运用