Question

已知如图，D是⊙O的直径AB延长线上一点，DC切⊙O于C，过D作ED⊥AD与AC的延长线相交于E．
（1）求证：CD=DE；
（2）若tan∠BAC=，求的值；
（3）设AB=2R，当BC=CE时，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ADE是直角三角形，
∴∠E=90°-∠A；
又∵∠BCD=∠A，∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°-∠A，
∴∠E=∠DCE，即CD=DE．

（2）解：设BC=y，ED=x；根据tan∠BAC=，得出AD=3x，AC=3y；
Rt△ABC中，根据勾股定理，得：AB==y；
又因为CD=DE，所以根据切割线定理，x²=BD•3x，BD=，AB=3x-=x；
所以y=x，=．
又因为==-1=×-1=．

（3）解：连接OC；
由（1）知：∠BCD=∠A，∠ACB=∠BCE=90°；
∴∠OBC=∠BCE；
∵OB=OC，CD=DE；
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E；
又∵BC=CE；
∴△OBC≌△DCE（ASA）；
∴OC=CD=R；
Rt△OCD中，OC=CD=R，∠OCD=90°；
∴OD=R，即BD=OD-OB=（-1）R．
分析：（1）欲求CD=DE，需先求出∠DCE=∠E；由弦切角定理知∠DCB=∠A；可发现：∠DCE和∠E是上面证得的两个等角的余角，故∠DCE=∠E，由此得证．
（2）设出BC=x，ED=y；根据tan∠BAC=，得出AD=3x，AC=3y，根据勾股定理和切割线定理即可求出x和y之间的关系．
（3）连接OC，由（1）得出的∠BCD=∠A，易知：∠OBC=∠CDE，因此等腰△OBC和等腰△DCE相似；由于题中告诉了BC=CE，可得到的条件是△OBC≌△DCE；因此OC=CD=R；在等腰Rt△OCD中，已知了直角边的长，即可求出斜边OD的长，进而可求出BD的长．
点评：此题巧妙利用了勾股定理、切割线弦定及三角函数值，将各个量结合起来，找到它们之间的关系，尤其是（2），借助参数求代数式的比，应用了设而不求的方法．