Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；
（3）在抛物线上求一点P₀，使得△ABP₀为等腰三角形，并写出P₀点的坐标；
附加：（4）除（3）中所求的P₀点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点A（1，0）、B（5，0），
∴y=a（x-1）（x-5）．
又∵抛物线经过点C（0，5），
∴5a=5，a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5．

（2）∵E点在抛物线上，
∴m=4²-4×6+5=-3．
∵直线y=kx+b过点C（0，5）、E（4，-3），
∴，
解得k=-2，b=5．
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，
当y=0时，-2x+5=0，
解得x=．
∴D点的坐标为（，0）．
∴S=S_△BDC+S_△BDE
==10．

（3）∵抛物线的顶点P₀（3，-4）既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点P₀（3，-4）为所求满足条件的点．

（4）除P₀点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．
理由如下：
∵，
∴分别以A、B为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B、P₁、P₂、P₃、A、P₄、P₅、P₆，除去B、A两个点外，其余6个点为满足条件的点．
分析：（1）将已知三点的坐标代入抛物线的方程，可得abc的值，进而可得抛物线的方程；
（2）根据题意，易得直线的方程，进而可得D的坐标，最后代入可得△CBE的面积；
（3）根据二次函数的对称性，易得答案；
（4）假设存在，以A、B为圆心半径长为4画圆，分析可得在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．