Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：CD=DB；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC=AB，
∴CD=DB（三线合一）；

（2）证明：连接OD，
∵CD=DB，AO=OB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；

（3）解：∵AC=AB，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=4，∠B=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ADB中，BD=DC=AB=2，AB=4，由勾股定理得：AD=6，
∵AC=AB，CD=DB，
∴∠CAD=30°，
∵∠ADB=90°，O是AB中点，
∴OD=AB=OB，
∴∠ODB=∠B=60°，
∵DE是⊙O切线，
∴∠EDO=90°，
∴∠EDC=180°-90°-60°=30°=∠CAD，
即∠CDE=∠CAD，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴=，
∴=，
∴DE=3．
分析：（1）推出AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可；
（2）求出OD∥AC，推DE⊥OD，根据切线的判定推出即可；
（3）求出CD，AD的长，证△CDE∽△CAD，得出比例式，求出即可．
点评：本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质等知识点的综合运用．