Question

如图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边．求证：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C

Answer 1

答案：
解析：

证法一 　　分析：∠BDC＝360°－∠1－∠2，∠1，∠2分别在△ABD和△ACD中，∠1＝180°－∠3－∠B，∠2＝180°－∠4－∠C，可得∠BDC＝360°－(180°－∠3－∠B)－(180°－∠4－∠C)．再由∠3＋∠4＝∠BAC，化简即可得到证明． 　　证明：∵在△ABD中，∠1＝180°－∠B－∠3，在△ADC中，∠2＝180°－∠C－∠4(三角形内角和定理)， 　　又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2(周角定义) 　　又∴∠BDC＝360°－(180°－∠B－∠3)－(180°－∠C－∠4)(等量代换) 　　＝∠B＋∠C＋∠3＋∠4． 　　又∵∠BAC＝∠3＋∠4， 　　∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC(等量代换)． 　　证法二 　　分析：添加辅助线，将∠BAC、∠ABC、∠ACB纳入同一个三角形中．利用定理，有∠BAC＋∠ABD＋∠ACD＋∠1＋∠2＝180°．再由∠1，∠2和∠BDC联系起来，利用定理，有∠1＋∠2＋∠BDC＝180°．然后通过等量代换，即可完成证明． 　　证明：连接BC． 　　在△ABC中，∠BAC＋∠ABD＋∠ACD＋∠1＋∠2＝180°，在△BDC中，∠BDC＋∠1＋∠2＝180°(三角形内角和定理) 　　∴∠1＋∠2＝180°－(∠BAC＋∠ABD＋∠ACD)，∠1＋∠2＝180°－∠BDC(等式性质)． 　　∴∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD(等量代换)． 　　即∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C． 　　注意：添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定做题时要注意总结