Question

已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AC=a，点P在△ABC的三条边上运动，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；
（2）比较线段PA+PC与线段PB的大小，并说明理由；
（3）当点P在边AB上（除去A、B两端点）上运动，若要PA、PB、PC三条线段所构成锐角三角形，PA的取值范围是多少，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于本题P点的位置不确定，因此要分P与A重合，P在AC上，P与C重合，P在BC上，P在AB上五种情况进行讨论．主要根据三角形三边的关系进行求解；
（2）本题同（1）一样，也要分类进行讨论，也是根据三角形三边的关系进行求解．要注意的是P在AB上运动时，由于无法直接用三角形三边关系来求解，因此要通过构建特殊值来进行判断，以CA、CB为边C为顶点在两边各取一个15°角，设与AB的交点为P₀和D，那么不难得出△ACP₀≌△BCD，因此△P₀CD是个等边三角形．
当P在AP₀上运动时，PA+PC＜PA+AP₀=PA+BD=PB，综合可得PA+PC＜PB；
当P与P₀重合时，PC+PA=P0C+P0A=P₀D+BD=PB，即PA+PC=PB；
当P在P₀B上运动时，PA+PC=P0P+AP₀+PC=P0P+PC+BD，由于P₀P+PC＞P₀C=P₀D，因此PA+PC=P₀P+PC+BD＞P₀D+BD=PB；
（3）本题要考虑两种情况：
要使PA，PB，PC构成锐角三角形，首先要满足三边能组成一个三角形；
要求出PA，PB，PC构成直角三角形时PA的值；
根据上面两种情况求出的PA即可得出PA、PB、PC三条线段所构成锐角三角形时PA的取值范围．

解答：解：（1）答：PA+PB+PC的最小值为2a．
理由如下：
当点P与A重合时，PA+PB+PC=AC+AB
而AB＞AC，故PA+PB+PC＞2AC=2a
当点P在线段AC上运动时（不含A、C），PA+PB+PC=AC+PB，而PB＞AC，故PA+PB+PC＞2a
当P与C重合时，PA+PB+PC=AC+CB=2a，可见P在AC运动时PA+PB+PC的最小值是2a
同理，当点P在线段CB上运动时，PA+PB+PC的最小值为2a
当点P在线段AB上运动时，PA+PB+PC=AB+CP，而当CP⊥AB时，CP为最小值，其值为

2

2

a
∴PA+PB+PC=AB+CP≥

2

a+

2

2

a=

3 2

2

a＞2a
综上，PA+PB+PC的最小值为2a；

（2）答：当P在AC上运动时（P与C点不重合），PA+PC＜PB
当P与C点重合时，PA+PC=PB
当P在BC上运动时（P与C点不重合），PA+PC＞PB
当P在AB上运动时，设P₀在线段AB上，且∠ACP₀=15°
当P在AP₀（不与P₀重合时）时，PA+PC＜PB，当P在P₀B（不与P₀重合时）时，PA+PC＞PB
当P与P₀重合时，PA+PC=PB，理由如下
当P在AC上运动时（P与C点不重合），PA+PC=AC=BC＜PB
当P与C点重合时，PA+PC=AC=BC=PB
当P在BC上运动时（P与C点不重合），PA＞AC=BC，而PB＜BC
∴PA+PC＞PB
如图1，在线段AB上取DB=AP₀，连接CD，易证△AP₀C≌△BDC
则CP₀=CD，∠ACP₀=∠BCD=15°
∴∠P₀CD=60°∴△P₀CD是正三角形，即P₀D=P₀C，因此当P与P₀重合时，AP+PC=PB
当P在AP₀（不与P₀重合时）时，由于PC-P₀C＜PP₀=AP₀-AP
∴PC+PA＜P₀C+AP₀=P₀D+DB=P₀B＜PB；

如图2，当P在BP₀（不与P₀重合时）时，由于PP₀+PC＞P₀C=P₀D
则PP₀+PC+AP₀＞P₀C+AP₀=P₀D+DB=P₀B＞PB
∴PA+PC＞PB；

（3）

3 2 - 6

6

a＜PA＜

6 - 2

2

a或

3 2 - 6

2

a＜PA＜

3 2 + 6

6

a．
理由如下：令P₁为AB的中点，不妨设P在AP₁上运动，要PA、PB、PC三条线段能构成三角形，须要PC-PA＜PB＜PA+PC
易见PB＞PC＞PA，则PC-PA＜PB
由（2）知，要使PA+PC＞PB，P应在P₀B，即∠PCA＞15°
因为AP₀=AP₁-P₁P₀=

2

2

a-

2

2

a•cot60°=

2

2

a-

6

6

a=

3 2 - 6

6

a
即PA＞

3 2 - 6

6

a
又知当P从在P_oB上从P_o向P₁运动时，PA，PB，PC构成的三角形从钝角变为直角，再变为锐角
若设PA=x，则PB=

2

a-x，PC²=（

2

2

a）²+（

2

2

a-x）²=a²-

2

ax+x²
若PA、PB、PC构成的三角形是直角三角形，则有PB²=PA²+PC²，即
（

2

a-x）²=a²-

2

ax+x²，x²+

2

ax-a²=0，因x＞0，所以x=

6 - 2

2

a
所以

3 2 - 6

6

a＜PA＜

6 - 2

2

a
同理可说明，当P在BP₁上运动，要PA、PB、PC三条线段若能构成钝角三角形
须要

3 2 - 6

6

a＜PA＜

3 2 + 6

6

a
综上可得：

3 2 - 6

6

a＜PA＜

6 - 2

2

a或

3 2 - 6

6

a＜PA＜

3 2 + 6

6

a．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形三边的关系、全等三角形的判定等知识点．综合性强，难度大．