Question

如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosC=

1

2

，DE=6，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连OD，先证明OD∥AC，再证明OD⊥DE．
（2）由∠C的余弦值得到∠C的度数，接着可得到三角形BOD是等边三角形，由此得三角形ABC也是等边三角形．求出DC就可得到AB．

解答：（1）证明：如图，连接OD；（1分）
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD为△ABC的中位线．
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠DEC=90°．
即OD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．（2分）

（2）解：∵cosC=

1

2

，
∴∠C=60°．（3分）
∵OD∥AC，
∴∠BDO=∠C=60°．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=60°．
∴△ABC为等边三角形．
∵在△EDC中，∠DEC=90°，DE=6，
∴DC=4

3

．（4分）
∵D为BC中点，
∴BC=2DC=8

3

．
∴AB=8

3

．
∴⊙O的直径为8

3

．（5分）

点评：熟悉切线的判定定理．证明圆的切线问题要转化为证明线段垂直的问题．同时也要熟悉等边三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的数量关系．记住特殊角的三角函数值．