Question

如图，将直角梯形OABC置于直角坐标系中，O是原点，且A、B、C的坐标分别是（8，0），（5，k），（0，k），在OA边上取动点P，连接BP，作PD⊥BP交y轴正半轴于点D，设OP=x，OD=y．
（1）当k=4时，
①求出y关于x的函数关系式；
②若△APB是等腰三角形时，求y的值；
③点D能否与C点重合，若存在，求出相应x的值，若不存在，请说明理由；
（2）当k在什么范围内，存在点D，使得PD经过点C？（直接写出结果）

Answer 1

【答案】分析：（1）①可过B作BE⊥OA于E，根据相似三角形POD和BEB得出的关于OP、OD、BE、PE的比例关系式得出y，x的函数关系式．
②本题要分类求解：
一：AB=AP，可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE的长，即可求出PE和OP的长，也就求出了y的值．
二：AB=BP，此时PE=AE，即BC-OP=OA-BC，据此可求出OP的长
三：PB=PA，那么PB=PA=8-y，可在直角三角形BPE中，用勾股定理求出y的值
③D、C重合时，y=OC=4，将其代入①的函数中，如果得出的方程无解则说明D、C不重合，如果有解，得出的x的值就是所求．
（2）在运动的过程中，若PD经过点C，则∠CPB=90°，那么以BC为直径的圆会与AO相交或相切，为此k≤BC．
解答：解：
（1）当k=4时，B（5，4），C（0，4）；
①过B作BE⊥OA于E，则△DPO∽△PBE，
∴，
即．
∴y=-x²+x．
②当BP=AB时，AE=PE，
即5-y=8-5，得y=2．
当AP=AB时，在直角三角形ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理有AB=PA=5，
∴PE=5-3=2，
因此OP=BC-PE=2，即y=3．
当AP=BP时，在直角三角形BPE中，BP=AP=8-y，BE=4，PE=5-y．
根据勾股定理有：
（8-y）²=16+（5-y）²，
解得y=．
③点D不能与C点重合．
令y=4，得-x²+x=4，此方程无实根．
因此点D不能C点重合．

（2）在满足0＜k≤2.5时，存在点D，使得PD经过C．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．