Question

3．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．⊙O经过B、C两点，且AO=3，则⊙O的半径为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，如图，先利用等腰三角形的性质得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，则利用勾股定理可计算出AD=4，再根据垂径定理的推论得到⊙O的圆心O在直线AD上，然后推论：当点O在线段AD上，连接OB，如图，OD=1，当圆心O′在DA的延长线上，连接O′B，如图，O′D=7，然后分别利用勾股定理可计算出对应的半径．

解答 解：作AD⊥BC于D，如图，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴⊙O的圆心O在直线AD上，
当点O在线段AD上，连接OB，如图，OD=AD-OA=4-3=1，
在Rt△BDO中，OB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
当圆心O′在DA的延长线上，连接O′B，如图，O′D=AD+O′A=4+3=7，
在Rt△BDO′中，O′B=$\sqrt{{3}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{58}$，
综上所述，⊙O的半径为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$．
故答案为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．