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【题目】如图①,在ABC中,BAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且不与点A,C重合),在ABC的外部作CED,使CED=90°,DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.

(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系

(2)将CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图②,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;

(3)在图②的基础上,将CED绕点C继续逆时针旋转,请判断(2)问中的结论是否发生变化?若不变,结合图③写出证明过程;若变化,请说明理由.

【答案】(1)AF=AE;(2)AF=AE,证明详见解析;(3)结论不变,AF=AE,理由详见解析.

【解析】

试题分析:(1)如图①中,结论:AF=AE,只要证明AEF是等腰直角三角形即可.(2)如图②中,结论:AF=AE,连接EF,DF交BC于K,先证明EKF≌△EDA再证明AEF是等腰直角三角形即可.(3)如图③中,结论不变,AF=AE,连接EF,延长FD交AC于K,先证明EDF≌△ECA,再证明AEF是等腰直角三角形即可.

试题解析:(1)如图①中,结论:AF=AE.

理由:四边形ABFD是平行四边形,

AB=DF,

AB=AC,

AC=DF,

DE=EC,

AE=EF,

∵∠DEC=AEF=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE.

(2)如图②中,结论:AF=AE.

理由:连接EF,DF交BC于K.

四边形ABFD是平行四边形,

ABDF,

∴∠DKE=ABC=45°,

EKF=180°﹣DKE=135°,

∵∠ADE=180°﹣EDC=180°﹣45°=135°,

∴∠EKF=ADE,

∵∠DKC=C,

DK=DC,

DF=AB=AC,

KF=AD,

EKF和EDA中,

∴△EKF≌△EDA,

EF=EA,KEF=AED,

∴∠FEA=BED=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE.

(3)如图③中,结论不变,AF=AE.

理由:连接EF,延长FD交AC于K.

∵∠EDF=180°﹣KDC﹣EDC=135°﹣KDC,

ACE=(90°﹣KDC)+DCE=135°﹣KDC,

∴∠EDF=ACE,

DF=AB,AB=AC,

DF=AC

EDF和ECA中,

∴△EDF≌△ECA,

EF=EA,FED=AEC,

∴∠FEA=DEC=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE.

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