【题目】如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且不与点A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系 ;
(2)将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图②,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;
(3)在图②的基础上,将△CED绕点C继续逆时针旋转,请判断(2)问中的结论是否发生变化?若不变,结合图③写出证明过程;若变化,请说明理由.
【答案】(1)AF=AE;(2)AF=AE,证明详见解析;(3)结论不变,AF=AE,理由详见解析.
【解析】
试题分析:(1)如图①中,结论:AF=AE,只要证明△AEF是等腰直角三角形即可.(2)如图②中,结论:AF=AE,连接EF,DF交BC于K,先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如图③中,结论不变,AF=AE,连接EF,延长FD交AC于K,先证明△EDF≌△ECA,再证明△AEF是等腰直角三角形即可.
试题解析:(1)如图①中,结论:AF=AE.
理由:∵四边形ABFD是平行四边形,
∴AB=DF,
∵AB=AC,
∴AC=DF,
∵DE=EC,
∴AE=EF,
∵∠DEC=∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
(2)如图②中,结论:AF=AE.
理由:连接EF,DF交BC于K.
∵四边形ABFD是平行四边形,
∴AB∥DF,
∴∠DKE=∠ABC=45°,
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°,
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°,
∴∠EKF=∠ADE,
∵∠DKC=∠C,
∴DK=DC,
∵DF=AB=AC,
∴KF=AD,
在△EKF和△EDA中,
,
∴△EKF≌△EDA,
∴EF=EA,∠KEF=∠AED,
∴∠FEA=∠BED=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
(3)如图③中,结论不变,AF=AE.
理由:连接EF,延长FD交AC于K.
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC,
∠ACE=(90°﹣∠KDC)+∠DCE=135°﹣∠KDC,
∴∠EDF=∠ACE,
∵DF=AB,AB=AC,
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中,
,
∴△EDF≌△ECA,
∴EF=EA,∠FED=∠AEC,
∴∠FEA=∠DEC=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
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【题目】阅读下列语句:
①邻补角的平分线互相垂直;②互补的两个角一定是一个为锐角,另一个为钝角;③延长线段AO到C,使OC=OA;④这个角等于30°吗?在这些语句中,属于真命题的是_______.(填序号)
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【题目】如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)连接DE、BF,若BD⊥EF,试探究四边形EBDF的形状,并对结论给予证明.
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【题目】小丽上午9:00从家里出发,骑车去一家超市购物,然后从这家超市返回家中,小丽离家的距离y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数关系图象如图所示.请根据图象回答下列问题:
(1)小丽去超市途中的速度是米/分;在超市逗留了分;
(2)求小丽从超市返回家中所需要的时间?
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2)、B(﹣2,1)、C(1,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度).
(1)△A1B1C1是△ABC绕点 逆时针旋转 度得到的,B1的坐标是 ;
(2)求出线段AC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).
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