Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF⊥AD，交BC于点F．若线段DF上存在点E，使∠EBC=∠EDC，且∠ECB=45°．
（1）猜想：BE与CD有什么数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）若DE=3，DF：FC=4，求CD的长．

Answer 1

解：（1）BE=CD，BE⊥CD．
∵∠ECB=45°，
∴EF=FC，
在△BEF和△DCF中，

∴△BEF≌△DCF（AAS），
延长BE交CD于G，
∵DF⊥AD，∴∠EDC+∠DCF=90°，
∵∠EBC=∠EDC，
∴∠EBC+∠DCF=90°，
∴BE⊥CD；

（2）根据题意，设DF=4x，则FC=EF=x，
∵DE=3，∴4x-x=3，
解得x=1，
∴DF=4，FC=1，
根据勾股定理，
CD===．
分析：（1）根据∠ECB=45°得到EF=FC，证明△BEF≌△DCF，即可得到BE=CD；根据“∠EBC=∠EDC”得∠FBE+∠BCD=90°，所以BF⊥CD；
（2）根据“DF：FC=4”，设DF=4x，则FC=EF=x，再根据DE=3，求出DF的长，然后利用勾股定理求解即可．
点评：（1）利用三角形全等的判定和等边对等角的性质；
（2）主要利用勾股定理求解．熟练掌握性质和定理是解题的关键．