Question

先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题．
例：若多项式2x³-x²+m分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m的值．
解：设2x³-x²+m=（2x+1）•A   （A为整数）
    若2x³-x²+m=（2x+1）•A=0，则2x+1=0或A=0
    由2x+1=0得x=-

1

2

    则x=-

1

2

是方程2x³-x²+m=0的解
    所以2×（-

1

2

）³-（-

1

2

）²+m=0，即-

1

4

-

1

4

+m=0，所以m=

1

2

问题：
（1）若多项式x²+px-6分解因式的结果中有因式x-3，则实数P=

 

；
（2）若多项式x³+5x²+7x+q分解因式的结果中有因式x+1，求实数q的值；
（3）若多项式x⁴+mx³+nx-16分解因式的结果中有因式（x-1）和（x-2），求实数m、n的值．

Answer 1

分析：（1）根据题目提供的信息，把x-3=0，求出x的值，然后代入多项式进行计算即可求出p值；
（2）根据题目提供的信息，把x+1=0，求出x的值，然后代入多项式进行计算即可求出q值；
（3）根据题目提供的信息，把x-1=0，x-2=0，求出x的值，然后代入多项式得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得解．

解答：解：（1）设x²+px-6=（x-3）•A    （A为整数），
若x²+px-6=（x-3）•A=0，则x-3=0或A=0，
由x-3=0得，x=3，
则x=3是方程x²+px-6=0的解，
∴3²+3p-6=0，
解得p=-1；

（2）设x³+5x²+7x+q=（x+1）•B   （B为整式），
若x³+5x²+7x+q=（x+1）•B=0，则x+1=0或B=0，
由x+1=0得，x=-1，
则x=-1是方程x³+5x²+7x+q=0的解，
∴（-1）³+5×（-1）²+7×（-1）+q=0，
即-1+5-7+q=0，
解得q=3；

（3）设x⁴+mx³+nx-16=（x-1）（x-2）•C  （C为整式），
若x⁴+mx³+nx-16=（x-1）（x-2）•C=0，则x-1=0，x-2=0，C=0，
由x-1=0，x-2=0得，x=1，x=2，
即x=1，x=2是方程x⁴+mx³+nx-16=0的解，
∴1⁴+m•1³+n•1-16=0，
2⁴+m•2³+n•2-16=0，
即m+n=15①，
4m+n=0②，
①②联立解得m=-5，n=20，
故答案为：（1）p=-1，（2）q=3，（3）m=-5，n=20．

点评：本题考查了因式分解的应用，读懂题目信息，利用方程的思想求解是解题的关键．