Question

已知抛物线y=（1-m）x²+4x-3开口向下，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）当x₁²+x₂²=10时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）抛物线y=（1-m）x²+4x-3开口向下，a=1-m＜0；因为抛物线y=（1-m）x²+4x-3与x轴交于两点，所以
b²-4ac=16+12（1-m）＞0；解不等式组即可求得m的取值范围．
（2）∵x₁+x₂=-

4

1-m

，x₁•x₂=

-3

1-m

，∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-

4

1-m

）²-2×

-3

1-m

=10，
解得m=-

3

5

或m=2，代入即可求得．

解答：解：（1）∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴

1-m＜0 16+12(1-m)＞0

∴1＜m＜

7

3

；

（2）∵x₁，x₂是方程（1-m）x²+4x-3=0的两根，
∴x₁+x₂=

-4

1-m

，x1x2=

-3

1-m

，
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
∴(

-4

1-m

)2+

6

1-m

=10，
∴5m²-7m-6=0，
∴m=-

3

5

或m=2，
又∵1＜m＜

7

3

，
∴m=2，故所求函数解析式为y=-x²+4x-3．

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了根与系数的关系．