Question

已知：二次函数y=ax²+2ax的图象与x轴负半轴的交点为A，将点A绕坐标原点O顺时针旋转120°后得点B．
（1）若B点在已知的二次函数的图象上，求a的值；
（2）在（1）的条件下，设二次函数图象的顶点为C，判断直线OC与△AOB的外接圆位置关系．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+2ax=ax（x+2），
∴当y=0时，ax（x+2）=0，
解得：x=0或x=-2，
∵二次函数y=ax²+2ax的图象与x轴负半轴的交点为A，
∴点A（-2，0），
即OA=2，
∵将点A绕坐标原点O顺时针旋转120°后得点B．
∴∠AOB=120°，OB=OA=2，
∴∠BOD=30°，
过点B作BD⊥y轴于点D，
∴BD=OB=1，OD=OB=，
∴点B的坐标为（1，），
∵B点在已知的二次函数的图象上，
∴a+2a=，
解得：a=；

（2）直线OC与△AOB的外接圆相切．
理由：设OB的中点为F，过点F作EF⊥OB交AO的垂直平分线于点E，连接OE，
即点E是△AOB外接圆的圆心；
∵AO的垂直平分线即是抛物线的对称轴，
∴点E的横坐标为-1，
∵直线OB的解析式为：y=x，
∴设直线EF的解析式为：y=-x+b，
∵点F（1，），
∴-+b=，
解得：b=，
∴直线EF的解析式为：y=-x+，
当x=-1时，y=，
∴点E的坐标为（-1，），
∴tan∠EOG=，
∴∠EOG=60°，
∵y=x²+x=（x+1）²-，
∴点C（-1，-），
∴tan∠COG=，
∴∠COG=30°，
∴∠COE=∠COG+∠EOG=90°，
即EO⊥OC，
∴直线OC与△AOB的外接圆相切．
分析：（1）由二次函数y=ax²+2ax的图象与x轴负半轴的交点为A，易求得点A的坐标，又由将点A绕坐标原点O顺时针旋转120°后得点B，可得∠BOD=30°，OB=OA=2，然后过点B作BD⊥y轴于点D，即可求得点B的坐标，再代入二次函数的解析式，即可求得a的值；
（2）由△AOB的外接圆的圆心是△AOB的三边的垂直平分线的交点，可设OB的中点为F，过点F作EF⊥OB交AO的垂直平分线于点E，连接OE，确定点E是△AOB外接圆的圆心；然后求得点E的坐标，可证得OE⊥OC，即可判定直线OC与△AOB的外接圆相切．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、三角形的外接圆以及切线的判定．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．