Question

反比例函数y=的图象在第一象限的分支上有一点A（3，4），P为x轴上的一个动点，
（1）求反比例函数解析式．
（2）当P在什么位置时，△OPA为等腰三角形，求出此时P点的坐标．

Answer 1

解：（1）把A（3，4）代入y=得，4=，
∴k=12，
∴反比例函数解析式为y=；

（2）如图：
∵A（3，4），
∴OA==5，
当OA=OP，
以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于P₁、P₂，如图，
∴P₁的坐标为（-5，0），P₂的坐标为（5，0），
当AO=AP，点P₃与点O关于AD对称，
∴P₃的坐标为（6，0）；
当PA=PO，
作OA的中垂线交OA于C，交x轴于P₄，
则OC=，
∵Rt△OCP₄∽Rt△ODA，
∴OP₄：OA=OC：OD，即OP₄：5=：3，
∴OP₄=，
∴P₄（，0）．
所以P在（-5，0）、（5，0）、（，0）、（6，0）时，△OPA为等腰三角形．
分析：（1）直接把A（3，4）代入y=可得到k的值，从而确定反比例函数解析式；
（2）先计算出OA=5，然后分类：当OA=OP，易得P₁的坐标为（-5，0），P₂的坐标为（5，0）；当AO=AP，易得P₃的坐标为（6，0）；当PA=PO，作OA的中垂线交OA于C，交x轴于P₄，则OC=，易证Rt△OCP₄∽Rt△ODA，则OP₄：OA=OC：OD，即OP₄：5=：3，得到OP₄=，则P₄（，0）．
点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数y=图象上的点的横纵坐标的积都等于k；利用相似三角形的判定与性质求线段之间的关系，从而确定某些点的坐标；运用等腰三角形的性质和分类讨论的思想确定等腰三角形．