Question

在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=

1 2 k

x

(k≠0)满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y=-x+

2

k都经过点P，且|OP|=

3

，则实数k=

3

2

．

Answer 1

分析：根据反比例函数性质确定出k＞0，然后设点P的坐标为（a，b），再根据点P是反比例函数与直线的交点，代入两解析式得到关于a、b、k的两个方程，再根据OP的长度得到一个方程，然后联立求解消掉a、b得到关于k的一元二次方程，求解即可．

解答：解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴

1

2

k＞0，
解得k＞0，
设点P坐标为（a，b），
根据题意得，

1 2 k

a

=b，-a+

2

k=b，OP=

a2+b2

=

3

，
整理得，2ab=k①，a+b=

2

k②，a²+b²=3③，
∵（a+b）²=a²+2ab+b²，
∴2k²=k+3，
即2k²-k-3=0，
解得k₁=

3

2

，k₂=-1（舍去），
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据完全平方公式把a、b消掉转化为关于k的一元二次方程是解题的关键．