Question

如图①，两个全等的等腰直角△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图②，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．求证：CF=CH；
（2）如图③，当α=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形，并说明理由；
（3）如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连接BD，当旋转角α的度数为

 

时，△BDH是等腰三角形．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据两个全等的等腰直角△ABC和△EDC得到∠A=∠B=∠E=∠D=45°，CA=CB=CE=CD，再根据旋转的性质得CA=CD，∠A=∠D，∠ACE=∠BCD=α，可证明△CAF≌△CDH，所以CF=CH；   
（2）由于∠ACE=∠BCD=45°，∠A=45°，根据三角形内角和定理得∠AFC=90°，而∠FCD=90°，根据平行线的判定可得到AB∥CD，
同理可得AC∥DE，则可判断四边形ACDM是平行四边形，加上CA=CD，于是可判断四边形ACDM是菱形；
（3）根据旋转的性质得到CB=CD，∠BCD=α，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠CBD=∠CDB=

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（180°-α），则∠HBD＞∠BDH，则当DB=DH或BH=BD时，△BDH是等腰三角形，根据三角形外角性质得∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°，当DB=DH，则∠HBD=∠BHD，即

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（180°-α）=α+45°，解得α=30°； 当BH=BD，则∠BHD=∠BDH，即α+45°=

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（180°-α）-45°，解得α=0（舍去），所以α=30°．

解答：（1）证明：∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°，CA=CB=CE=CD，
∵△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α，
∴CA=CD，∠A=∠D，∠ACE=∠BCD=α，
在△CAF和△CDH中

∠A=∠D CA=CD ∠ACF=∠DCH

，
∴△CAF≌△CDH，
∴CF=CH；   
（2）解：四边形ACDM是菱形．理由如下：
∵∠ACE=∠BCD=45°，
而∠A=45°，
∴∠AFC=90°，
而∠FCD=90°，
∴AB∥CD，
同理可得AC∥DE，
∴四边形ACDM是平行四边形，
而CA=CD，
∴四边形ACDM是菱形；
（3）解：∵CB=CD，∠BCD=α，
∴∠CBD=∠CDB=

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（180°-α），
∴∠HBD＞∠BDH，
∴当DB=DH或BH=BD时，△BDH是等腰三角形，
∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°，
当DB=DH，则∠HBD=∠BHD，即

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（180°-α）=α+45°，解得α=30°；
当BH=BD，则∠BHD=∠BDH，即α+45°=

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（180°-α）-45°，解得α=0（舍去），
∴α=30°，
即当旋转角α的度数为30°时，△BDH是等腰三角形．
故答案为30°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定和等腰三角形的性质．