Question

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，求证：∠FCN=45°，并说明理由；
（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则∠FCN等于多少度？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出AG=AE，AD=AB，∠GAE=∠BAD=90°，求出∠GAD=∠EAB，根据SAS推出两三角形全等即可．
（2）过F作FQ⊥BC于Q，根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，求出∠BAE=∠FEQ，证△ABE≌△EQF，推出BE=FQ，AB=EQ=BC，求出BE=CQ=FQ，即可得出∠FCQ=∠CFQ=45°．
（3）过F作FQ⊥BC于Q，根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，求出∠BAE=∠FEQ，证△ABE≌△EQF，推出BE=FQ，AB=EQ=BC，求出BE=CQ=FQ，即可得出∠FCQ=∠CFQ=45°，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠GAD=∠EAB，
在△ADG和△ABE中，

AD=AB ∠GAD=∠EAB AG=AE

，
∴△ADG≌△ABE（SAS）．

（2）证明：过F作FQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中，

∠BAE=∠FEQ ∠ABE=∠EQF AE=EF

，
∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-EC=EQ-EC，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=

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（180°-90°）=45°．

（3）解：∠FCN=135°，
理由是：过F作FQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中

∠BAE=∠FEQ ∠ABE=∠EQF AE=EF

∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-BQ=EQ-BQ，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=

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（180°-90°）=45°，
∴∠FCN=180°-45°=135°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．