Question

7．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP．下列结论：
①△ABE≌△DCF；②∠CPD=75°；③$\frac{EF}{AD}$=$\frac{1}{5}$；④$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
其中正确的是①②④．（只填写序号）

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE≌△DCF，即可判断①；根据CP=CD和∠DCP=30°即可求出∠CPD，即可判断②；设正方形边长为4，求出DF和AE，求出EF，即可判断③；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，再求出比，即可判断④．

解答 解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，∴②正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=90°，
设AB=BC=CD=AD=4，
∵∠DCF=30°，
∴CF=2DF，DF=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，CF=$\frac{8\sqrt{3}}{4}$，
同理AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则AE+DF-EF=AD，
∴EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-4=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴$\frac{EF}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}-4}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{3}$，∴③错误；
过P作PN⊥BC于N，PM⊥CD于M，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
S_△BPD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PDC-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×4=4$\sqrt{3}$-4，
∴$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{4\sqrt{3}-4}{4×4}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，∴④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论．