【题目】如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF;
(2)若BC=2 ,求AB的长.
【答案】
(1)证明:在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BAC=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF
(2)解:如图,连接OB,
∵BE=BF,OE=OF,
∴BO⊥EF,
∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,
∴∠BAC=∠ABO,
又∵∠BEF=2∠BAC,
即2∠BAC+∠BAC=90°,
解得∠BAC=30°,
∵BC=2 ,
∴AC=2BC=4 ,
∴AB= = =6.
【解析】(1)依据矩形的性质可知AB∥CD,然后,再根据平行线的性质可得到∠BAC=∠FCO,接下来,利用“AAS”可证明△AOE≌△COF,再根据全等三角形的即可得证;
(2)连接OB,首先依据等腰三角形三线合一的性质可知BO⊥EF,然后再根据矩形的性质可得出OA=OB,接下来,再根据等边对等角的性质证明∠BAC=∠ABO,然后依据三角形的内角和定理可得到∠BAC=30°,在Rt△ABC中,依据含30°直角三角形的性质可求得AC的长,最后,再利用勾股定理可求得AB的长.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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【题目】南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+ )海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
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【题目】小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料,学校与 图书馆的路程是 千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到 达图书馆,图中折线 和线段 分别表示两人离学校的路程 (千米)与所经过的 时间 (分钟)之间的函数关系,请根据图像回答下列问题:
(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为 分钟;小聪返回学校的速度为 千米/分钟.
(2)请你求出小明离开学校的路程 (千米)与所经过的时间 (分钟)之间的函数表达式;
(3)若设两人在路上相距不超过 千米时称为可以“互相望见”,则小聪和小明可以“互相 望见”的时间共有多少分钟?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A、B两点分别在x轴、y轴上,OA=3,OB=4,连接AB.点P在平面内,若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合),则点P的坐标为 .
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【题目】如图,已知AM∥BN,∠A=60°,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB:∠ADB的比值是否随之变化?若不变,请求出这个比值;若变化,请找出变化规律;
(3)当点P运动到某处时,∠ACB=∠ABD,求此时∠ABC的度数.
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【题目】如图,一次函数y=-x+3的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动的速度分别为1,,2 (长度单位/秒);动点E从O点开始以(长度单位/秒)的速度沿线段OB运动.设P、E两点同时出发,运动时间为t (秒),当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,动点E和P同时停止运动.过点E作EF∥OA,交AB于点F.
(1)求线段AB的长;
(2)求证:∠ABO=30°;
(3)当t为何值时,点P与点E重合?
(4)当t = 时,PE=PF .
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【题目】(1)如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E.
求证:△BEC≌△CDA;
(模型应用)
(2)①已知直线l1:y=x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转45o至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式;
②如图3,长方形ABCO,O为坐标原点,点B的坐标为(8,-6),点A、C分别在坐标轴上,点P是线段BC上的动点,点D是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限.若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点D的坐标.
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【题目】如图1,对称轴为直线x= 的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在数轴上有A、B、C、D四个整数点即各点均表示整数,且,若A、D两点表示的数的分别为和6,点E为BD的中点,那么该数轴上上述五个点所表示的整数中,离线段BD的中点最近的整数是
A. B. 0C. 1D. 2
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