Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC，BD相交于点F，过F作EF∥AB，交AD于E．
（1）求证：梯形ABFE是等腰梯形；
（2）若△DCF的面积是12，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）过D作DG⊥AB，交AB于G．
在直角梯形ABCD中，∠BCD=∠ABC=90°．
∵∠DGB=90°，AB=2DC，
∴四边形DGBC是矩形．
∴DC=GB．
∴AB=2GB，
∴AG=GB．
∴三角形ABD是等腰三角形，即DA=DB．
∴∠DBA=∠DAB．
∵EF∥AB，AE与BF相交于点D
又∵四边形EABF是梯形．
∵∠DBA=∠DAB．
∴四边形ABFE是等腰梯形．…

（2）∵AB∥DC，
∴∠FAB=∠FCD．
∵∠AFB=∠DFC，
∴△AFB∽△CFD．
∵AB=2DC，S_△CFD=12，
∴S_△AFB=48．…
∵，有，有S_△ADF=24．
同理，S_△CFB=24．
∴梯形ABCD的面积=12+48+24+24=108．…
分析：（1）过D作DG⊥AB，交AB于G，由∠DGB=90°得出四边形DGBC是矩形，由矩形的性质可知DC=GB，进而得出DA=DB，根据EF∥AB即可得出结论；
（2）由AB∥DC可知△AFB∽△CFD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△ABF的值，再由==即可求出△BCF及△ADF的值，进而得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，直角梯形及等腰梯形的性质，矩形的性质，根据题意作出辅助线，根据梯形的性质判断出AB与CD的关系是解答此题的关键．