Question

【题目】如图（1）将长方形纸片ABCD的一边CD沿着CQ向下折叠，使点D落在边AB上的点P处．

（1）试判断线段CQ与PD的关系，并说明理由；

（2）如图（2），若AB=CD=5，AD=BC=3．求AQ的长；

（3）如图（2），BC=3，取CQ的中点M，连接MD，PM，若MD⊥PM，求AQ（AB+BC）的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2） （3）9

【解析】

（1）由折叠知CD=CP，∠DCQ=∠PCQ．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；

（2）设AQ=x，则DQ=QP=3-x．在Rt△PBC中，由勾股定理可得PB的长，进而得到AP的长．在Rt△APQ中，由勾股定理列方程，求解即可得出结论．

（3）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DM=QM=MC=PM，由等腰三角形的性质得到∠MDQ=∠MQD，∠MQP=∠MPQ．再由四边形内角和为360°得到∠DQP=135°，从而得到∠AQP=45°，得到△APQ为等腰直角三角形，从而求出AQ的长．在Rt△PBC中，由勾股定理得到（AB－AQ）2+32=AB2，变形即可得到结论．

（1）CQ垂直平分DP．理由如下：

由折叠的性质可知：CD=CP，∠DCQ=∠PCQ，∴CQ垂直平分DP．

（2）设AQ=x，则DQ=QP=3-x．

∵PC=DC=5，BC=3，∴PB==4．

∵AB=5，∴AP=5-4=1．在Rt△APQ中，∵，∴，解得：x=，∴AQ=．

（3）如图，∵∠QDC=∠QPC=90°，M为斜边QC的中点，∴DM=QM=MC=PM，∴∠MDQ=∠MQD，∠MQP=∠MPQ．

∵MD⊥PM，∴∠DMP=90°，∴∠DQP=∠DQM+∠PQM=（360°-90°）÷2=135°，∴∠AQP=180°－135°=45°．

∵∠A=90°，∴∠APQ=∠AQP=45°，∴△APQ时等腰直角三角形，∴AP=AQ，DQ=PQ=AQ．

∵AQ+QD=AD=BC=3，∴（+1）AQ=3，解得：AQ=3（－1）=．在Rt△PBC中，∵PB2+BC2=PC2，∴（AB－AQ）2+32=AB2，∴ABAQ=(AQ2+9)，∴AQ（AB+BC）= AQAB+ AQ BC=(AQ2+9)+3AQ=（AQ+3）2= =9．